Polinomlarla İlgili Temel Kavramlar:

      a₀, a₁, a₂, ....a_n-1, a_n Î R ve n Î N olmak üzere,

      P(x) = a_n xⁿ + a_n-1 x^n-1 + .... + a₁ x + a₀ şeklindeki ifadelere x değişkenine bağlı, reel katsayılı n’inci dereceden bir polinom denir.
1.    a_n xⁿ, a_n-1 x^n-1, ...., a_k x^k, ....., a_yx, a₀ ifadelerinin her birine P(x) polinomunun terimleri denir.

2.                a_n, a_n-1, ...., a_k, ...., a_y, a₀ reel sayılarına, polinomun terimlerinin katsayıları denir.

3.                P(x) polinomunda a_nxⁿ terimindeki en büyük n sayısına polinomun derecesi denir ve [P(x)]=n şeklinde gösterilir.

4.                Derecesi en büyük olan a_nxⁿ terimindeki an reel sayısına polinomun katsayısı, a₀ sabitine ise polinomun sabit terimi denir.

5.                P(x) polinomu, terimlerin azalan derecelerine göre,

P(x) = a_nxⁿ + a_n-1x^n-1 + .... + a₁x + a₀ şeklinde veya P(x) polinomu terimlerin artan derecelerine göre,

P(x) = a₀ + a₁x + a₂x² + .... + a_n-1x^n-1 + a_nxⁿ biçiminde sıralanır.

6.                Katsayıları reel sayılardan oluşan polinoma “Reel Katsayılı Polinom” denir ve reel katsayılı polinomlar kümesi R_[x]  ile gösterilir.

 Örnek:

  P(x) = 2x^5-3/n +x^n-2 + 4 ifadesinin bir polinom olması için n Î N kaç olmalıdır?

 Çözüm:

5-3/n ifadesinin bir doğal sayı olması gerekir bunun için n yerine verilecek sayının 3’ün bölenleri olmalıdır.

3’ün bölenleri ise n = 1, n = 3, n = -1, n = -3  Ayrıca n-2 ³ 0 den n ³ 2 olması gerekir. O halde bu iki şartı da gerçekleyen n = 3 sayısıdır. Buna göre, P(x) polinomu

P(x) = 2x^5-3/3 + x^3-2 + 4

P(x) = 2x⁴ + x + 4 dür.

                                ÇOK DEĞİŞKENLİ POLİNOM

P(x, y) = x³y² – 2x⁴ y³ + xy + x – y + 1 şeklindeki polinomlara x ve y değişkenlerine bağlı reel katsayılı bir polinom denir.Bu polinomların derecesi x ve y’nin dereceler toplamının en büyüğüdür.

der P(x, y) = der P(x) + der P(y)  dir.

 Yukarıdaki iki değişkenli polinomun derecesi ikinci terimdeki x ve y’nin dereceler toplamıdır.

Der P(x, y) = 4 + 3 = 7 dir.

 Örnek

 P(x, y) = 2x²y⁴ – 3x³y⁵ + x²y³-y⁵ + 1 polinomunun derecesi kaçtır?

 Çözüm:

2x²y⁴ teriminin derecesi 2 + 4 = 6

-3x³y⁵ teriminin derecesi 3 + 5 =8

x²y³ teriminin derecesi 2 + 3 = 5

-y⁵ teriminin derecesi 5

   Yukarıda belirtilen en büyük dereceli terimin derecesi P(x, y) polinomunun derecesidir. O halde, der P(x, y) = 8 dir.

 Örnek

P(x) = x³ – 3x² + 4x – 2 ise

P(2)= ?, P(0) = ?, P(1) = ?

 Çözüm:

P(2) = 2³ – 3.2² + 4.2 – 2

        = 8 – 12 + 8 – 2 = 2 bulunur.

P(0) = 0³ – 3.0² + 4.0 – 2 = - 2  bulunur.

P(1) = 1³ – 3.1² + 4.1 – 2

        = 1 – 3 + 4 – 2 = 0 bulunur.     

                                  SIFIR POLİNOMU

     P(X) = a_nxⁿ + a_n-1x^n-1 + ... + a₂x² + a₁x + a₀ polinomunda,

a_n = a_n-1 = ... = a₁ = a₀ = 0 ise; P(x) = 0xⁿ + 0x^n-1 + ... + 0x² + 0x + 0 polinomuna, sıfır polinomu denir.

Sıfır polinomu, 0 ile gösterilir. Sıfır polinomunun derecesi belirsizdir.

 Örnek

        P(x) = (m + 3)x² + (n – 5) x + 1 polinomunun sıfır polinomu olması için; m, n ve t reel sayılarını belirtelim.

 Çözüm

    P(x) polinomunun sıfır polinomu olması için; 

  m + 3 = 0,      n – 5 = 0,      t = 0 ;

      m = -3,           n = 5,      t = 0 olmalıdır.  

                                        SABİT POLİNOM

P(x) = a_nxⁿ + a_n-1x^n-1 + ... + a₁x + a₀ polinomunda, a_n = a_n-1 = ... = a₁ = 0 ve a₀ ¹ 0 ise; P(x) polinomuna, sabit polinom denir.

 0xⁿ + 0x^n-1 + ... + 0x + a₀ sabit polinomu, a₀ ile  gösterilir.

x⁰ = 1 olduğundan; a₀ sabit polinomu, a₀x⁰ biçiminde yazılabilir. Buna göre, sabit polinomun derecesi 0 dır.

 Örnek

 P(x) = (a – 4)x² + bx + 7 polinomunun sabit polinom olması için, a ve b sayılarını belirtelim.

Çözüm

P(x) = A – 4)x² + bx + 7 polinomunun sabit polinom olması için, a – 4 = 0 ve b = 0 olmalıdır. Buna göre, a = 4 ve b = 0 dır.

                                        İKİ POLİNOM EŞİTLİĞİ

 Dereceleri aynı ve aynı dereceli terimlerinin kat sayıları eşit olan iki polinoma, eşit polinomlar denir.

   n. dereceden,

A(x) = a_nxⁿ + a_n-1x^n-1 + ... + a₂x² + a₁x + a₀ ve

B(x) = b_nxⁿ + b_n-1x^n-1 + ... + b₂x² + b₁x + b₀  polinomları için;

A(x) = B(x) Û a_n = b_n, a_n-1 = b_n-1, ... , a₂ = b₂, a₁, a₀ = b₀ dır.

 Örnek

A(x) = 5x³ + (a + 1x² + d,

B(x) = (b - 1)x³ – 3x² – (2c – 3) x +  polinomları veriliyor. A(x) = B(x) olması için; a, b, c ve d yi bulalım.

 Çözüm

A(x) = 5x³ + (a + 1)x² + d = 5x³ + (a +  1)x² + 0x + d,                                

B(x) = (b – 1)x3  - 3x2 – (2c – 3)x +    olduğundan;

A(x) = B(x) Þ 5 = b – 1, a + 1 = -3,  0 = -(2c – 3), d =    

                   b = 6,             a = -4,   c = ,          d =    dir.

                              POLİNOM FONKSİYONLARI

 P : R ® R

x ® P(x) = a_nxⁿ + a_n-1x^n-1 + ... + a₁x + a₀  fonksiyonuna polinom fonksiyonu denir.

 P : R ® R

x ® P(x) = 5x³ + 2x² – 3x + 1  ifadesi polinom fonksiyonudur.

 Örnek

P(x) = x² + 2x + 1 polinomu için P(X-1) polinomunu bulunuz.

 Çözüm

P(x-1)’i bulmak için P(x)’de x yerine x-1’i yazalım.

P(x-1) = (x-1)² + 2(x-1) + 1

           = x² – 2x + 1 + 2x – 2 + 1 = x²

P(x-1) = x² olarak bulunur.

 II: Yol:

Önce P(x) = x² + 2x + 1 = (x+1)² olarak yazıp x yerine x-1’i yazalım.

P(x-1) = (x-1+1)² = x² bulunur.

 Örnek

P(x) polinomu için,

P(x+2) = x³ – 2x² + 4 eşitliği veriliyor. Buna göre P(x) polinomunu bulunuz.

 Çözüm

P(x+2) = x³ - 2x² + 4 eşitliğinde

H = x + 2 Þ  h –2 = x’i yerine yazalım.

P(h – 2 + 2) =  (h – 2)³ – 2(h – 2)² + 4

            P(h) = (h – 2)³ – 2(h – 2)² + 4

            P(x) = (x – 2)³ – 2(x – 2)² + 4 bulunur.

                        POLİNOM KATSAYILAR TOPLAMI

 P(x) = a_nx_n + a_n-1x^n-1 + ... + a₁x + a₀    polinomunda x = 1 yerine yazılırsa

P(1) = a_n + a_n-1 + ... + a₁ + a₀  katsayılar toplamı bulunur.

P(x) polinomunda x = 0 yerine yazılırsa sabit terimi bulunur.

 Örnek

P(x) = 2x⁴ + 5x³ – 3x² + x – 1 polinomunun katsayıları toplamını bulunuz.

 Çözüm

P(x) de x = 1 ‘i yerine yazalım.

P(1) = 2.1⁴ + 5.1³ – 3.1² + 1-1

        = 2 + 5 – 3 + 1 – 1 = 4  bulunur.

                                     POLİNOMLARDA İŞLEMLER

 Polinomlarda Toplama İşlemi

 A(x) = a₄x⁴ + a₃x³ + a₂x² + a₁x + a₀

B(x) = b₃x³ + b₂x² + b₁x + b₀

Polinomları verilsin, bu iki polinomu toplarken aynı dereceli terimler kendi arasında toplanarak iki polinomun toplamı elde edilir.

A(x) + B(x) = a₄ x⁴ + ( a₃ + b₃ ) x³ + ( a₂ + b₂ ) x² + ( a₁ + b₁ ) x + a₀ + b₀

 Örnek

P(x) = x³ + 2x² – 3x + 1, Q(x) = 3x² + Ö3 x + 4 polinomlarının toplamı olan polinomu bulunuz.

 Çözüm

P(x) + Q(x) = x³ + (2+3) x² + (-3) + Ö3) x + 1 + 4

                   = x³ + 5x² + (Ö3-3) x + 5 dir.

 Buna göre iki polinomun toplamı yine bir başka polinom olduğundan polinomlar toplama işlemine göre kapalıdır.

    1.                Polinomlar kümesi, toplama işlemine göre kapalıdır.

2.                Polinomlar kümesinde toplama işleminin değişme özelliği vardır.

3.                Polinomlar kümesinde toplama işleminin birleşme özelliği vardır.

4.                Sıfır polinomu, polinomlar kümesinde toplama işlemine göre birim elemanıdır.

5.                Her polinomun, toplama işlemine göre tersi vardır.

                                     İki Polinomun Farkı

 P(x) ve Q(x) polinomları için,  P(x) – Q(x) = P(x) + (-Q(x)) tir.

P(x) – Q(x) polinomuna, P(x) polinomu ile Q(x) polinomunun farkı denir.

Örnek

A(x) = 5x⁴ + x³ – 3x² + x + 2 ve

 B(x) = - 5x⁴ + x³ + 2x² +     polinomları için, A(x) – B(x) farkını bulalım.

Çözüm

B(x) = -5x⁴ + x³ + 2x² +  ise,   -B(x) = 5x⁴ - x³ – 2x² -  dir.

A(x) – B(x) = A(x) + (-B(x))

                 = (5x⁴ + x³ – 3x² + x + 2) + (5x⁴ - x³ –2x² - )

                 = (5 + 5)x⁴ + ( - )x³ + (-3 –2)x² +  x + (2 - )

                 = 10x⁴ – x³ – 5x² + x -  olur.

Bu örnekte görüldüğü gibi, iki polinomun farkı da bir polinomdur.

Her A(x) ve B(x) polinomları için, A(x) – B(x) ifadesi de polinom olduğundan; polinomlar kümesi, çıkarma işlemine göre kapalıdır.

                                    Polinomlarda Çarpma İşlemi

 A(x) ve b(x) gibi iki polinomun çarpımı, A(x) ‘in her terimi B(x)’in her terimi ile ayrı ayrı çarpılarak bulunur.

a_nxⁿ ile b_kx^k teriminin çarpımı

a_nxⁿ . b_kx^k = (a_n . b_k) x^n+k dir.

Yani (5x³) . (-2x⁴) = 5 . (-2) x³⁺⁴ = -10x⁷

Bu çarpmaya göre aşağıdaki eşitliği yazabiliriz.

Der [A(x) . B(x) ] = der (A(x)) + der (B(x))

 Örnek

   A(x) = 3x⁴ + 1,   B(x) = x² + x

   C(x) = x² – x + 1  polinomları veriliyor.

a    A(x) . B(x)

b    B(x) . C(x)  çarpımlarını bulunuz.

 Çözüm

a    A(x) . B(x)  =  (3x⁴ + 1) . (x² + x)

        =  3x⁴ . x² + 3x⁴ . x + x² + x

        =  3x⁶ + 3x⁵ + x² + x

    b)    B(x) . C(x)  =  (x² + x) . (x² – x + 1)

        =  x² . x² – x² . x + x² . 1 + x . x² – x . x + x . 1

        =  x⁴ – x³ + x² + x³ – x² + x + 1

        =  x⁴ + x + 1   bulunur.

         Polinomlarda çarpma işleminin aşağıdaki özellikleri vardır.

 1.                Kapalılık (iki polinomun çarpımı yine bir  polinomdur.

2.                Değişme özelliği vardır.

3.                Birleşme özelliği vardır.

4.                Çarpma işleminin birim (etkisiz) elemanı P(x) = 1 sabit polinomudur.

5.                Polinomlar kümesinde çarpma işlemine göre bazı polinomların tersi yoktur.

Yani P(x) = x² polinomunun tersi 1/x² ifadesi polinom değildir.

6.      Polinomlar kümesinde çarpma işleminin toplama işlemi üzerine dağılma özelliği vardır.

         A(x) . (B(x) + C(x)) = A(x) . B(x) + A(x) . C(x)

                                Polinomlar Halkası

 Toplama ve çarpma işleminin özelliklerinden görüldüğü gibi R_[x] polinomlar kümesi;

1.                (R_[x],+) sistemi değişmeli gruptur.

2.                R_[x] kümesi çarpma işlemine göre kapalı ve çarpma işleminin birleşme özelliği vardır.

3.                R_[x] kümesinde çarpma işleminin toplama işlemi üzerinde dağılma özelliği vardır.

O halde (R_[x], + , .  ) sistemi bir halkadır. Buna polinomlar halkası denir.

                          Polinomlarda Bölme İşlemi

 A(x) polinomunun B(x) polinomuna bölümü

A(x)     B(x)

ê                     T(x)

ê

.

-___________

         R(x)

Burada A(x) = B(x) . T(x) + R(x) şeklinde yazılır.

Bu bölme işlemi yapışırken aşağıdaki hususlara dikkat edilmelidir.

1.                Polinomlar azalan kuvvetlerine göre sıralanmalıdır.

2.                Bölünen polinomun derecesi bölen polinomun derecesinden büyük olmalıdır.

DerB(x)  < derA(x)

3.                Kalanın derecesi bölenin derecesinden küçük olmalıdır.

Der R(x) < der B(x)

4.                R(x) = 0 ise A(x) polinomu B(x) polinomuna tam bölünüyor denir.

5.                der A(x) = der B(x) + der T(x)

der   = der A(x) – der B(x) dir.

Örnek

P(x) = x⁴-2x² + x 5 polinomunu

Q(x) = x² + 3x – 1 polinomuna bölelim.

x⁴ – 2x² + x + 5            x² + 3x – 1

                 _____________                         = x²

                      x²- 3x + 8

   ± x⁴ ± 3x³ ± x^{2                                                                 = -3x}

-__________________   

    -3x³ – x² + x + 5                                            ^{= 8}

    ±3x³ ± 9x² ±3x

-_________________

 8x² – 2x + 5

    ± 8x² ± 24x ±8

-_________________

    - 26x + 13

Bölüm : x² – 3x + 8

Kalan  : -26x + 13

                                       Horner Metodu

Bölen, birinci dereceden ya da birinci dereceden polinomların çarpımından oluşuyorsa bu metot uygulanabilir.

 Örnek

Px³ + qx² + nx + s polinomunu (x – a) ‘ ya bölelim.

 Çözüm

1.             Bölünen polinomun katsayıları x’in azalan kuvvetlerine göre sıralanır.

2.             Bölümün derecesi bölünenin derecesinden küçük olacağı için bölümde x³’ün katsayısı 0 olur.

3.             p katsayısı aşağıya aynen yazılır.

4.             a, p ile çarpılır, q’nun altına yazılarak toplanır. Ap + q olarak yazılır.

    Bu işleme, kalan bulunana kadar devam edilir.

px³ + qx² + rx + s,  x – a = 0  ise  x = a

 Örnek

P(x) = x⁴ – x³ + 3x + 4 polinomunun x – 2’ye bölündüğünde bölüm ve kalanı horner metodu yardımıyla bulunuz.

 Çözüm

P(x)’in katsayılarını belirleyip tabloda gösterelim. Ayrıca x –2 = 0 Þ x = 2 ‘yi yerine yazalım.

                  Bölümün Katsayıları                                        Kalan

                                     -1      0       3       4

                  2       1       2      2       4       14

                           1       1      2       7       18

                           Bölümün  Katsayıları           Kalan

Bölüm B(x) = x³ + x² + 2x + 7

Kalan  R(x) = 18 bulunur.

                          Bölme İşlemi Yapmadan Kalan Bulma

Bir P(x) Polinomunun x – a ile Bölünmesinde Elde Edilen Kalan

Bir P(x) polinomunun (x – a) ile bölünmesinden elde edilecek bölüm Q(x) ve kalan k olsun. (x – a) birinci dereceden  olduğundan, kalan sabit bir sayıdır. P(x) = (x – a) Q (x) + k eşitliği her x için geçerlidir. Burada, x yerine a yazarsak P(a) = 0.Q(a) + k Þ P(a) = k bulunur.

 Bir P(x) polinomunun (x – a) ile bölünmesinden elde edilen kalan P(x) ya eşittir. O halde, bir polinomun (x – a) ile bölünmesinden kalanı bulmak için (x – a = 0 Þ x = a olur.) polinomda x yerine a değeri yazılır.

 Örnek

P(x) = x² – 3x + 21 polinomunun (x – 2) ile bölünmesinden elde edilen kalanı bulunuz.

 Çözüm

X – 2 = 0 Þ x = 2 dir. Bulacağımız kalan P(2) olacaktır. Öyleyse, P(2) = 2² – 3 . 2 + 21 = 19 olur.

      Bir P(x) Polinomunun ax + b ile Bölünmesinden Elde Edilen Kalan

Bölen birinci dereceden olduğundan kalan yine sabit olur. Bölen olarak (ax + b) polinomunu alalım. Bu durumda P(x) = (ax + b) Q (x) + k  yazılır.

Ax + b = 0 Þ x =  olur. Polinomda x yerine  yazılırsa P( ) = k bulunur. O halde, bir P(x) polinomunun (ax + b) ile bölünmesinden kalanı bulmak için polinomda x yerine  yazılır.

 Örnek

P(x) = x³ – 4x + 1 polinomunun 2x – 1 ile bölünmesinden kalanı bulunuz.

 Çözüm

P ( ) = - 4. + 1 = - 2 + 1 =  olur.

Bir P(x) Polinomunun x² + a, x³ + a, x⁴ + a ile Bölünmesinden Elde Edilen Kalan

P(x) polinomunun x² + a ile bölünmesinden elde edilen kalanı bulmak için polinomda x² yerine –a yazılır.

P(x) polinomunun x³ + a ile bölünmesinden elde edilen kalanı bulmak için polinomda x³ yerine –a yazılır.

P(x) polinomunun x⁴ + a ile bölünmesinden elde edilen kalanı bulmak için polinomda x⁴ yerine –a yazılır.

Örnek

P(x) = x⁴ – x³ + x² + 7x –1 polinomunun, x² + 2 ile bölünmesinden kalanı bulunuz.

 Çözüm

İstenen kalanı bulmak için (x² + 2 = 0 Þ x² = -2) polinomda x² yerine –2 yazarız.

P(x) = x² . x² – x² . x + x² + 7x – 1 olur.

Kalan : (-2) ( -2) – (-2) . x – 2 + 7x – 1 = 4 + 2x + 7x – 3 = 9x + 1 bulunur.

 Bir Polinomun (x – a) (x – b) ile Bölünmesinden Elde Edilen Bölüm ve Kalan

Bir P(x) polinomunun (x – a) . (x – b) ile bölünmesini Horner yöntemi ile yapabiliriz. Verilen  P(x)  polinomu önce (x – a) ile bölünür, sonra elde edilen bölüm (x – b) ile bölünür.

 Örnek

Bir P(x) polinomunun (x + 3) (x – 2) ile bölünmesinden kalanı bulunuz.

 Çözüm

(x + 3) (x – 2) polinomu 2. dereceden olduğuna göre, kalan polinom en fazla 1. derecedendir. Kalan polinom K(x) = ax + b biçimindedir. Bölüm özdeşliği yazılırsa,

P(x) = (x + 3) (x – 2) B(x) + ax + b biçiminde olur.

P(-3) = -5 ve P(2) = 4 olduğu veriliyor.

P(-3) = (-3 + 3) (-3 –2) . B (-3) –3a +b  Þ P(-3) = -3a + b