PERMÜTASYON

x ve y reel sayı ve n pozitif bir doğal sayı olmak şartıyla

(x+y) ⁿ = C (n,0) xⁿ + C (n,1) x^n-1y+C (n,2) x^n-2y²+........ .......+C (n,r)x^n-ry^r+.....+C (n,n)yⁿ

ifadesine x+ y iki terimlisinin n inci kuvvetten açılımı, bir diğer ifadeyle binom açılımı denir.

Binom açılımındaki katsayıları paskal üçgeni ile de bulabiliriz.

1 ...............................(x+y)0

1 1 ...........................(x+y)1

1 2 1 ......................(x+y)2

1 3 3 1 ...................(x+y)3

1 4 6 4 1 ...............(x+y)4

             Sonuçlar :

1. Açılımda n+1 tane terim vardır.

2. Açılımı oluşturan terimlerin çarpanlarının kuvvetleri toplamı n’dir. mesela, açılımın bir terimi olan C (n,r) x^n-r y^r’ de terimi oluşturan x^n-r çarpanı ile y^r çarpanının kuvvetlerinin toplamı, n-r + r = n’ dir.

3. Açılımda terimlerin katsayılarının toplamı değişkenlerin yerine 1 yazılarak bulunur. Gerçekten, x = 1 ve y = 1 alınırsa , C (n,0) + C (n,1) + C (n,2) + ...... + C (n,n) = 2ⁿ

olur. n elemanlı bir kümenin alt küme sayısının 2 ⁿ olduğunu hatırlayınız. Benzer bir yaklaşımla tanımlı olduğu durumlar için değişkenlerin yerine 0 yazılarak açılımın sabit terimi bulunur. x = 0 ve y = 0 yazılırsa sabit terim 0 olur.

4. Açılım x’in azalan kuvvetlerine göre düzenlendiğinde baştan (r+1) . terim ,

C(n,r) x^n-r y^r ‘dir.

5. (x+y) ²ⁿ açılımında n pozitif bir tam sayı ve açılım x’in azalan kuvvetlerine göre düzenlenmiş ise ortanca terim, C(2n,n) xⁿyⁿ ‘dir.